証明問題は本質的な理解が問われますが、基本なアプローチは「既知の定理・公式の応用」で説明することです。
下記の証明は「円周角と中心角の定理」を用いて、「四角形で対角の和が180° ならば円に内接する四角形 」を説明しています。
余弦定理も「三平方の定理」＋「sin と cos 」で導出されます。
図形の証明問題は「平行」「合同」「相似」「比率」を活用しることが多いです。
数列の証明問題は「数学的帰納法」を活用することが多いです。
二等分線の性質は平行を活用した証明になります。
証明は複数分野にまたがることもあります。
下記の例は「三角関数とベクトル」を組み合わせた証明です。図形と関数の関係性を見出すことが大事な例です。
証明は「正確な式変形」が求められます。
↓は2次方程式の解を導出していますが、式変形の途中で符号や係数、次数を間違えてしまわないようにご注意ください。
命題の「逆・裏・対偶」は論理そのものです。
・対偶は必ず成立します ← 数学を学ぶ上で前提知識レベルの決まりです。
・逆と裏は成立するとは限りません。
命題の「逆・裏・対偶」を具体例で考えてみましょう。
・2であるならば偶数である
この命題について、逆・裏・対偶は↓のようになります。
背理法は「無理数」の証明に用いられることが多いです。
・とりあえず裏で仮定（無理数の裏である有理数と仮定する）
・仮定が正しいか検証
・矛盾が見つかる
・仮定が間違っている → 証明された
が大まかな流れです。
「条件」といっても種類があります。
「必要条件」と「十分条件」の違いを整理します。
三角関数は多くの対称性があり、[ sin ⇄ cos ]で式変形で活用できることが少なくありません。
証明にあたり、「数式を図形的に捉える」と証明の糸口になることがあります。
↓は相加相乗平均になりますが「周囲の長さ」「長方形の面積」と解釈する
「大小の証明」の場合、対数関数は式変形が豊富にできるので活用できることがあります。
対称式や2次関数、相加相乗平均も事前知 識として身につけておきたいです。
「不等式とはさみうち」は絞り込みや証明に活用できます。
↓は三角関数の極限値の例です。
